求证：方程5m2-6mn+7n2=1993无整数解

求证：方程5m2-6mn+7n2=1993无整数解

证明：假设此方程有整数解.

化5m²-6mn+7n²=1993为：
4m²+(m-3n)²-2n²=1993
因为奇数的平方除以4余1，偶数的平方除以4余0，上式右端除以4余1.

所以只有m-3n是奇数，n是偶数，当然m就是奇数.

再有奇数的平方除以8余1，偶数的平方除以8余0或4，
所以4m²+(m-3n)²-2n²除以8的余数为4+1-0=5，但是1993除以8余1.这是一个矛盾。

因此原方程无整数解。

先使用余数分析的方法确定m可能的取值
1) 首先m不能是偶数。因为如果m是偶数，那么(5m^2) mod 4=0（mod 4表示除以4的余数），(-6mn) mod 4=0，1993 mod 4=1，于是(7n^2) mod 4=1，这样n是奇数，而如果n是奇数，(7n^2) mod 4=3，矛盾
2) 其次m必然能整除3。假设m不能整除3，那么m=3x+1或者m=3x+2，无论是那种情况，都有(5m^2) mod 3=2，(-6mn) mod 3=0，1993 mod 3=1，于是(7n^2) mod 3=2，这样n不能整除3，无论是n=3y+1还是n=3y+2，(7n^2) mod 3=1，矛盾
3) 根据1)和2)的结论，可知m=6x+3
其次枚举证明没有整数解
4) 将5m^2-6mn+7n^2=1993看作n的二次方程，解得n=[3m+√(13951-26m^2)]/7或者n=[3m-√(13951-26m^2)]/7。由于13951-26m^2>=0可知|m|<=23，因为正负是对称的，我们考察m=3、9、15、21，看看能否使得(13951-26m^2)是平方数，检验证明它们都不是，因此原方程不存在整数解
祝您学习愉快