求解方程式。691/7+3x=700 x等于多少

求解方程式。691/7+3x=700 x等于多少

691/7+3x=700
3x=700-691/7
x=(4900-691)/(7X3)
x=4209/21
x=1403/7
x=200又7分之3

一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1-x)2=n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，解这个方程，得a1=25，a2=31.因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题:(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽，千古风流数人物;而立之年督东吴，早逝英年两位数;十位恰小个位三，个位平方与寿符;哪位学子算得快，多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.则根据题意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去;当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局，共计n(n-1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n-1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000-20(x-25)]x=27000.整理，得x2-75x+1350=0，解这个方程，得x1=45，x2=30.当x=45时，1000-20(x-25)=600＜700，故舍去x1;当x2=30时，1000-20(x-25)=900＞700，符合题意.答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件，请说明理由.解都能.(1)设小路宽为x，则18x+16x-x2=×18×15，即x2-34x+180=0，解这个方程，得x=，即x≈6.6.(2)设扇形半径为r，则3.14r2=×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间;若不存在，说明理由.解因为∠C=90°，所以AB===10(cm).(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP=xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm.则根据题意，得·(6-x)·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解这个方程，得x1=2，x2=4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得(6-x)·2x=××6×8.整理，得x2-6x+12=0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度×时间.十、梯子问题例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米?(2)若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米?(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米?解依题意，梯子的顶端距墙角=8(m).(1)若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2=102，整理，得x2+12x-15=0，解这个方程，得x1≈1.14，x2≈-13.14(舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理，得x2-16x+13=0.解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14(舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8-x)2+(6+x)2=102，整理，得2x2-4x=0，解这个方程，得x1=0(舍去)，x2=2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF=AB=100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.解这个方程，得x1=200-≈118.4，x2=200+(不合题意，舍去).所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n(n为整数，且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n-1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1，未被盖住的面积为S2.①当n=2时，求S1∶S2的值;②是否存在使得S1=S2的n值?若存在，请求出来;若不存在，请说明理由.解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7.(2)S1=n2+(12-n)[n2-(n-1)2]=-n2+25n-12.①当n=2时，S1=-22+25×2-12=34，S2=12×12-34=110.所以S1∶S2=34∶110=17∶55.②若S1=S2，则有-n2+25n-12=×122，即n2-25n+84=0，解这个方程，得n1=4，n2=21(舍去).所以当n=4时，S1=S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第(3)小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度;若不能，请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为(20-x)cm.则根据题意，得+=17，解得x1=16，x2=4，当x=16时，20-x=4，当x=4时，20-x=16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为(20-y)cm.则由题意得+=12，整理，得y2-20y+104=0，移项并配方，得(y-10)2=-4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2-4ac来判定.若b2-4ac≥0，方程有两个实数根，若b2-4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2-4ac=-16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14如图7，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积;(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由;(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在，求此时BE的长;若不存在，请说明理由.解(1)由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.则可得，FG=×4，所以S△BEF=BE·FG=-x2+x(7≤x≤10).(2)存在.由(1)得-x2+x=14，解这个方程，得x1=7，x2=5(不合题意，舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7.(3)不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD=1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2.则有-x2+x=，整理，得3x2-24x+70=0，此时的求根公式中的b2-4ac=576-840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得x2=5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:(1)观察图形，请填写下列表格:正方形边长1357…n(奇数)黑色小正方形个数…正方形边长2468…n(偶数)黑色小正方形个数…(2)在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1?若存在，请写出n的值;若不存在，请说明理由.解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n，所以P2=n2-2n.根据题意，得n2-2n=5×2n，即n2-12n=0，解得n1=12，n2=0(不合题意，舍去).所以存在偶数n=12，使得P2=5P1.说明本题的第(2)小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.