证明：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n不是整数

用反证法该如何证。
貌似看到过一种，是用奇数偶数证的
张景中的一本书中看到的

这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。

假定n>1（n=1时结论不成立）

假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。
设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M， ………………①

设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。

显然P*1/i是整数（i=1, 2, … . n）。
把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。

P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾。

楼主提到的张景中院士的那本书不是太清楚，不知道那里用什么方法。不过之前辅导一个小学生时，倒是遇到类似的问题：
证明1+1/2+1/3+1/4+…+1/49不是整数（可以考虑素数5，而不必考虑2）

根据题目的意思，是说对于任意不小于5的正整数都不是整数。先让n取无穷。 设S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...=1+（1/2+1/3）+（1/4+1/5+1/6+1/7）+（1/8+...+1/15）... ＜1+（1/2+1/2）+（1/4+1/4+1/4+1/4）+（1/8+...+1/8）... =1+1+1/2+1/（2^2）+1/（2^3）+...+1/（2^n）+... =1+【2（1-（1/2）^n）】（其中n趋向无穷大）＜3 对于任意不小于5的正整数n，S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n＞2. 故2＜S＜3 也即S不可能为正整数，对于任意取大于等于5的n。 反证法正在思考中。。。 我的解答错了，那个和式，对于n取无穷，它的值也无穷的。。。 每一项都是相对应的比较大，和式却反而较小。 楼上的把题目理解错了，题目是说对于任意≥5的正整数，而楼上的理解成了对于无穷大的n 而且把结论想当然了，数学是讲究严格的逻辑的，他说没有循环节就没有啊。虽然事实上的确没有，但是要证明啊

http://wenwen.sogou.com/z/q843761030.htm

因为n>=3,故在所有的分母当中（都是奇数^_^）必定存在一个最大的奇素数，设它为p,这样在分母中去掉p,设余下的奇数的最小公倍数为n，我们在ms=m+m/2+m/3＋……m/n两边再同时乘以n，得到mns=mn+mn/2+mn/3＋……mn/n。注意到等式右边的每一项mn/k（k=1,2,3,……n）， 当且仅当k＝p时，mn/k不是整数，其他的项都是整数." "k＝p时，mn/k不是整数，"如果余下的奇数中有p的倍数(奇数倍),那么mn/k是整数,如何断定余下的奇数中没有p的倍数呢? 可以肯定的是，余下的奇数中没有p的倍数。但是这个问题深究下去将会涉及到素数的分布问题，已经超出了初等数论的范围。我们不妨换个角度来思考，事实上，我的证明到了ms=m+m/2+m/3＋……m/n那步后要说明一个非常关键的问题。根据m的取法可知，只有1/m那项乘以m后分子是奇数，其他项的分子必定是偶数（因为其他项分母最多只有m-1个2相乘）。在那些分母为奇数的不可约分数的项中，设最大奇数为p，我们令n＝1×3×……×p,然后在ms=m+m/2+m/3＋……m/n两边乘以n，得到mns=mn+mn/2+mn/3＋……mn/n。这样一来，如果s是整数的话，那么mns一定是偶数，但是，等式右边却有n－1项是偶数，1项是奇数，所以右边是一个奇数。于是偶数等于奇数，矛盾！证明完毕！