已知向量a=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina-4cosa),a属于（3π/2,2π），且a垂直b.求

求cos(a/2+π/3)的值

a垂直b 可得：ab=0 于是有：
6sin²a+cosa(5sina-4cosa)=0
6sin²a+5sinacosa-4cos²a=0
(3sina+4cosa)(2sina-cosa)=0
即：
3sina+4cosa=0 可得：tana=-4/3
或：
2sina-cosa=0 可得：tana=1/2
因：a属于（3π/2,2π） 所以有：tana<0
综上可得：tana=-4/3, sina=-4/5, cosa=3/5

cos(a+2π/3)
=cosacos2π/3 - sinasin2π/3
=3/5x(-1/2)+4/5x√3/2
=(-3+4√3)/10

cos²(a/2+π/3)=[cos(a+2π/3)+1]/2
=(7+4√3)/20
=(2+√3)²/20
所以可得：cos(a/2+π/3)=±(√5+√15)/10

解析： 由已知可得： 向量a*向量b=6sin²a+cosa(5sina-4cosa)=6sin²a+5cosa*sina-4cos²a 因为a⊥b，所以：a*b=0 即有：6sin²a+5cosa*sina-4cos²a=0 方程两边同除以cos²a，理科的： 6tan²a+5tana-4=0 (2tana -1)(3tana+4)=0 因为a属于（3π/2，2π），则有：tana<0 所以解上述方程可得：tana=-3/4 易得：cosa=4/5 因为cosa=2cos²(a/2)-1，所以： 2cos²(a/2)-1=4/5 即cos²(a/2)=9/10 因为a/2属于（3π/4，π），所以： 可得cosa/2=-3(根号10)/10 sina/2=(根号10)/10 则：cos(a/2 + π/3) =cos(a/2)cos(π/3)-sin(a/2)sin(π/3) =[-3(根号10)/10]*(1/2) -(根号10)/10]*(根号3/2) = -（3根号10 +根号30）/20