分形原理是什么

分形原理是什么

分形是什么
数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的图象多是一些圆锥曲线、线段组合，受认识主客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。

进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。

美国数学家B， Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。

实际上，数学家们很早就认识到，有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。但那时解决办法是讨论具备什么条件的曲线有长度。而没有长度的曲线就没有深入研究。

此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何。

下面是Kohn（克赫）曲线。

谢宾斯奇 (W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、地毯、海绵。

皮亚诺（peano）曲线

1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal)这一概念。从字面意义上讲， fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点：
（1）具有无限精细的结构；
（2）比例自相似性；
（3）一般它的分数维大子它的拓扑维数；
（4）可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生。

据说，南非海岸线的维数是1.02，英国西岸的维数是1.25。

分形无处不在。

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。

在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

计算Kohn每次迭代所得图形的面积与周长。

设第k次迭代后边数是N(k)，边长是A(k)，周长是L(k)，面积是S(k)。有

N(0)=3,A(0)=Sgr(3),L(0)=3*Sgr(3),S(0)=3*Sgr(3)/4,

每次迭代，边数是原来的4倍，即,N(k)=N(k)*4。

边长是原来的1/3,A(k)=A(k-1)/3,

周长是原来的4/3倍，即L(k)=L(k-1)*4/3,

面积S(k)=S(k-1)+N(k-1)*A(k)*A(k)*Sgr(3)/4。