急!!!用数学归纳法证明,1+2^2+3^3+……+n^n<(n+1)^n
答案:2 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-03-11 20:34
- 提问者网友:沉默菋噵
- 2021-03-11 14:35
用数学归纳法证明,1+2^2+3^3+……+n^n<(n+1)^n
最佳答案
- 五星知识达人网友:十年萤火照君眠
- 2021-03-11 16:06
证明:
当n=1时,左式=1,右式=(1+1)^1=2,显然有左式<右式,原不等式成立。
假设当n=k时原不等式成立,即1+2^2+3^3+……+k^k<(k+1)^k
那么当n=k+1时,
左式=1+2^2+3^3+……+k^k+(k+1)^(k+1)
<(k+1)^k+(k+1)^(k+1)
=(k+1)^k+(k+1)(k+1)^k
=(1+k+1)(k+1)^k
=(k+2)(k+1)^k
<(k+2)(k+2)^k
=(k+2)^(k+1)
右式=(k+1+1)^(k+1)=(k+2)^(k+1)
即左式<右式,原不等式也成立。
综上所述,原不等式成立。
当n=1时,左式=1,右式=(1+1)^1=2,显然有左式<右式,原不等式成立。
假设当n=k时原不等式成立,即1+2^2+3^3+……+k^k<(k+1)^k
那么当n=k+1时,
左式=1+2^2+3^3+……+k^k+(k+1)^(k+1)
<(k+1)^k+(k+1)^(k+1)
=(k+1)^k+(k+1)(k+1)^k
=(1+k+1)(k+1)^k
=(k+2)(k+1)^k
<(k+2)(k+2)^k
=(k+2)^(k+1)
右式=(k+1+1)^(k+1)=(k+2)^(k+1)
即左式<右式,原不等式也成立。
综上所述,原不等式成立。
全部回答
- 1楼网友:底特律间谍
- 2021-03-11 16:16
当n=1时,左边=1³=1,右边=1²(1+1)²/4=1,左边=右边,所以等式成立;
假设当n=k时,等式成立即1³+2³+3³+…+k³=k²(k+1)²/4;
当n=k+1时,左边=1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³=(k+1)²[k²+4(k+1)]/4=(k+1)²(k+2)²/4=(k+1)²[(k+1)+1]²/4,右边=(k+1)²[(k+1)+1]²/4,所以当n=k+1时,等式成立;
所以综上所述,等式成立。
我要举报
如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息,可以点下面链接进行举报!
大家都在看
推荐资讯