从单位圆中的三角函数线出发,能得出三角函数的哪些性质?

从单位圆中的三角函数线出发,能得出三角函数的哪些性质?

设单位圆圆心在坐标轴原点O，交x轴于点B。考虑第一象限中单元圆上的一点A，坐标为A(x,y)
过点A做x轴的垂线，令OA与x轴的夹角是a，根据直角三角形的勾股定理，x*x+y*y=r*r ；
① 由于是单元圆，r=1，即 (sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1 .
由于直角三角形斜边大于直角边，当 0②有 sin(a) < 1 ，cos(a) < 1 ，sin(a) < tg(a) ，cos(a) < ctg(a) ；
③另外三角形OAB面积=(1/2)*1*(1*sin(a))=(1/2)*sin(a) ；而扇形OAB面积=π*1*1*a/(2π)=a/2 ；三角形OAB面积④ 延长射线OA，过点B做x轴的垂线，交射线OA与点C，三角形OBC面积=(1/2)*(1*tg(a))*1=tg(a)/2，而三角形OBC面积>扇形OAB面积 ，所以 tg(a)/2>a/2 ，即 tg(a)>a （这里0⑤弧度制的扩大：采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位圆(r=1)时，由扇形弧长公式l =α*r知l =α。所以，在单位圆中，角度α就是弧长l，将弧度的范围扩大为实数。
⑥简化“同角三角函数的基本关系”中的公式推导和应用（求值、证明）：利用正弦线、余弦线和勾股定理证明出“sin²α+cos²α=1”： 得出三角函数的正弦线、余弦线、正切线的关系
⑦利用三角函数线得出三角函数的图像，从而得出三角函数的性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、定义域、值域……，这些性质都能够在单位圆中一一对应起来，更能体会出数形结合的思想。
⑧利用单位圆更能直观的看出诱导公式：，观察三角函数线可知，π-α与α的正弦线相等，余弦相反；3π/2-α的正弦线等于α的余弦线的相反数，cos(3π/2-α)=sinα

函数图象、直接量出三角函数的大小、诱导公式，三角函数当大于一个值或小于一个值时的范围，总之，将代数变成几何，直观，容易理解！

第一象限角，正弦余弦之和大于1，第三象限角小于-1，第二四象限角在-1到1之间，反之亦然