直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1/4交于两个不同点A,B，且AB<√2/2,求a^2+b^2+2a的取值范围
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解决时间 2021-02-27 21:38
- 提问者网友：凉末
- 2021-02-26 20:58
直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1/4交于两个不同点A,B，且AB<√2/2,求a^2+b^2+2a的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：琴狂剑也妄
- 2021-02-26 22:29
x²+y²=1/4是圆心在原点（0，0），半径为1/2的圆
直线ax+by=1写成标准形式为ax+by-1=0
根据点线距离公式，原点到直线的距离d=|0+0-1|/√(a²+b²) = 1/√(a²+b²)
直线与圆交于不同点A、B，则原点到直线的距离d必须小于半径1/2
又：弦长AB＜√2/2，则原点到直线的距离d必须大于√{(1/2)²-(√2/4)²} = √2/4
∴√2/4＜1/√(a²+b²)＜1/2
1/8＜1/(a²+b²)＜1/4
4＜a²+b²＜8追问你还没算完追答4＜a²+b²＜8
4-b²＜a²＜8-b²
∵b²≥0
∴-b²≤0
∴4-b²≤4，8-b²≤8
∴a²≤8
-2√2≤a≤2√2
-4√2≤2a≤4√2
∴4-4√2＜a²+b²+2a＜8+4√2
直线ax+by=1写成标准形式为ax+by-1=0
根据点线距离公式，原点到直线的距离d=|0+0-1|/√(a²+b²) = 1/√(a²+b²)
直线与圆交于不同点A、B，则原点到直线的距离d必须小于半径1/2
又：弦长AB＜√2/2，则原点到直线的距离d必须大于√{(1/2)²-(√2/4)²} = √2/4
∴√2/4＜1/√(a²+b²)＜1/2
1/8＜1/(a²+b²)＜1/4
4＜a²+b²＜8追问你还没算完追答4＜a²+b²＜8
4-b²＜a²＜8-b²
∵b²≥0
∴-b²≤0
∴4-b²≤4，8-b²≤8
∴a²≤8
-2√2≤a≤2√2
-4√2≤2a≤4√2
∴4-4√2＜a²+b²+2a＜8+4√2
全部回答
- 1楼网友：深街酒徒
- 2021-02-26 23:05
AB<√2/2,说明小于1/4个弦长，也就是说直线到圆心的距离l介于√2/4~1/2
l=1/(√(a^2+b^2))
那么8>a^2+b^2>4
-2√24-2√2
l=1/(√(a^2+b^2))
那么8>a^2+b^2>4
-2√24-2√2
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