已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=[x]x-a（x＞0）有且仅有2个零点，则a的取值范围

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解决时间 2021-03-03 21:48

提问者网友：蓝琪梦莎
2021-03-02 22:35

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=
[x]
x -a（x＞0）有且仅有2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（
1
2 ，
2
3 ]
B．[
1
2 ，
2
3 ]
C．（
2
3 ，
3
4 ]
D．[
2
3 ，
3
4 ]

最佳答案

五星知识达人网友：你可爱的野爹
2021-03-02 23:26

因为f（x）=
[x]
x -a，有且仅有2个零点，则方程
[x]
x =a在（0，+∞）上有且仅有2个实数根，且 a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则
[x]
x =0；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴
[x]
[x]+1 ＜
[x]
x ≤1，∴
[x]
[x]+1 ＜a≤1，
且
[x]
[x]+1 随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，则有
1
2 ＜
[x]
x ≤1；
若[x]=2，则有
2
3 ＜
[x]
x ≤1；
若[x]=3，则有
3
4 ＜
[x]
x ≤1；
综上；
2
3 ＜a≤
3
4 ；
故选：C．

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1楼网友：西风乍起
2021-03-03 00:19

因为f(x)=[x]/x-a=0，故[x]/x=a；分x>0和x<0的情况讨论，显然有a≥0. 若x>0，此时[x]≥0；若[x]=0，则[x]/x=0；若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1，故[x]/（[x]+1）<[x]/x≤1，即[x]/（[x]+1）1; 若[x]=-2，有1≤a<2; 若[x]=-3，有1≤a<3/2; 若[x]=-4，有1≤a<4/3; 综上所述，3/4

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