3数学 求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积
答案:3 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-03-02 21:41
- 提问者网友:留有余香
- 2021-03-02 13:58
3数学 求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积
最佳答案
- 五星知识达人网友:神的生死簿
- 2021-03-02 15:22
曲线r=3cosx,r=1+cosx,是极坐标的形式,其中r=1+cosx是心形线,r=3cosx,是过(0,0),(3,0)的曲线(类似圆),在(0,0)点的切线恰为x=0.用特殊点画图,可得当x=+-pie/3时曲线相交。由极坐标曲面面积积分公式S=∫(α,β)[(r(x))^2]/2 dx得:公共面积S=2∫(0,pie/3)[(1+cosx)^2]/2 dx+2∫(pie/3,pie/2)[(3cosx)^2]/2 dx=(3x/2+2sinx+sin2x/4)|(0,pie/3)+9(x/2+sin2x/2)|(pie/3,pie/2)=pie/2+1+1/8+9*1/8=5pie/4.追问
书上的答案为什么会是这样的呢?
追答就是这个样子的啊,我画的图也是这个样子,只求x轴上方的面积然后乘二,上面的阴影分两部分,就是图中斜线分割成的两部分,第一个部分是0-pie/3,第二部分是pie/3-pie/2,套公式就行了……追问这个图,我不理解,也就画不出来了,这个图中的坐标为什么没有y轴呀?追答y轴没画出来,原点就是O点,答案就是5pie/4,我做过原题的
书上的答案为什么会是这样的呢?
追答就是这个样子的啊,我画的图也是这个样子,只求x轴上方的面积然后乘二,上面的阴影分两部分,就是图中斜线分割成的两部分,第一个部分是0-pie/3,第二部分是pie/3-pie/2,套公式就行了……追问这个图,我不理解,也就画不出来了,这个图中的坐标为什么没有y轴呀?追答y轴没画出来,原点就是O点,答案就是5pie/4,我做过原题的
全部回答
- 1楼网友:十鸦
- 2021-03-02 17:36
你这个有点难表示,因为cosx是周期函数
需要指明求哪个区间的面积,不然会重复出现很多个同样的面积。面积不就是无限大吗?
那莪只做- π 到 2π的部分了
解3cosx = 1 + cosx
x = - π/3,π/3,5π/3
在x∈[- π/3,π/3]围成的面积,3cosx > 1 + cosx
= ∫(- π/3→π/3) [3cosx - (1 + cosx)] dx
= 2√3 - 2π/3
在x∈[π/3,5π/3]围成的面积,1 + cosx > 3cosx
= ∫(π/3→5π/3) [(1 + cosx) - 3cosx] dx
= 2√3 + 4π/3
所以公共部分的面积
= n * [(2√3 - 2π/3) + (2√3 + 4π/3)],n∈整数
= n * (4√3 + 2π/3),只好这样表示了,共有n个这样的面积追问
书上答案为什么会是这样的呢?追答原来是极坐标的形式,开始真没看清楚了。。。
{ r = 3cosθ
{ r = 1 + cosθ
3cosθ = 1 + cosθ
cosθ = 1/2
θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3
交点为(3/2,π/3)和(3/2,5π/3)
∴阴影面积
= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ]
= (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ
= (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2)
= (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))]
= 2 + 7π/4
需要指明求哪个区间的面积,不然会重复出现很多个同样的面积。面积不就是无限大吗?
那莪只做- π 到 2π的部分了
解3cosx = 1 + cosx
x = - π/3,π/3,5π/3
在x∈[- π/3,π/3]围成的面积,3cosx > 1 + cosx
= ∫(- π/3→π/3) [3cosx - (1 + cosx)] dx
= 2√3 - 2π/3
在x∈[π/3,5π/3]围成的面积,1 + cosx > 3cosx
= ∫(π/3→5π/3) [(1 + cosx) - 3cosx] dx
= 2√3 + 4π/3
所以公共部分的面积
= n * [(2√3 - 2π/3) + (2√3 + 4π/3)],n∈整数
= n * (4√3 + 2π/3),只好这样表示了,共有n个这样的面积追问
书上答案为什么会是这样的呢?追答原来是极坐标的形式,开始真没看清楚了。。。
{ r = 3cosθ
{ r = 1 + cosθ
3cosθ = 1 + cosθ
cosθ = 1/2
θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3
交点为(3/2,π/3)和(3/2,5π/3)
∴阴影面积
= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ]
= (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ
= (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2)
= (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))]
= 2 + 7π/4
- 2楼网友:酒者煙囻
- 2021-03-02 16:41
是在一个周期里求吗?你把x的取值范围写清楚如果是在一个区间用积分方法,上下限是三分之一π和三分之5π,被积函数是1-2cosx追问书上的原题就是这样呀,呜呜!怎么办呢?
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