已知函数y=f(x)=x分之x²+2x+a x∈[1，+∞）

1.当a=½时，求函数f（x）的最小值 2.对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围

1、a=1/2时
f（x）=（2x²+4x+1）/2x=x+2+1/2x≥2+2根号1/2
当x=1/2x时取得，即x=±根号1/2＜1
但 x∈【1，+∞）
∴由对钩函数的性质
x=1时，f（x）min=7/2
2， f（x）＞0恒成立
由x∈[1，+∞）
仅需： x²+2x+a＞0即可
由二次函数图像性质
仅需4-4a＜0即可
解得：a＞1

1、a=1/2时 f（x）=（2x²+4x+1）/2x=x+1/2x+2 因x∈[1，+∞），所以x+1/2x＞=2*根号2/2=根号2 当根号x=1/根号2*根号x， x=根号2/2时，等号成立，f(x)最小值为根号2+2 2.，f(x)=x²+2x+a/x 因x∈[1，+∞）为正数，所以只需分子x²+2x+a/x＞0，就能使f（x）＞0 f(x),的图像抛物线开口向上，只要△＜0，就能保证f（x）＞0恒成立 △=4-4a＜0 ，a＞1

1、当a=1/2时，f(x)=x+1/2*x+2,对f(x)求导，有：f(x)’=1-1/2x*x>0，得有：x>根号下2/2或者x<-根号下2/2,由于x>=1,则有f(x)单调递增，则f(x)的最小值为f(1)=7/2 2、第一种方法： 由于x>=1,f(x)>0恒成立，故x*x+2*x+a>0,即（x+1）*(x+1)+a-1>0,最小值为当x=1时，有 3+a>0,故a>-3. 第二种方法：对f(x)求导，有：f(x)'=1-a/x*x>0，得x*x>a， 1.当a<=1时，f(x)'>0,函数在x>=1单调递增，最小值为f(1)=3+a>0,有a>-3 2.当a>1时，f(x)在(1,根号下a)下单调递减，在（根号下a,+∞）下单调递增，所以f(x)的最小值为 f（根号下a）=2+2*根号下a>0恒成立。 故a>-3

(1)令x2>x1>1,则f(x2)-f(x1)=(-x2^2+2x2)-(-x1^2+2x1)=(x2-x1)[2-(x2+x1)]

因为x2>x1>1，所以x2+x1>2,x2-x1>0,

所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[2-(x2+x1)]<0,即f(x2)<f(x1)

所以f(x)在[1，+∞）上是减函数

(2)因为f(x)在[1，+∞）上是减函数,

所以当x∈[2,5]时，f(x)的最大值为f(2)=0,最小值为f(5)=-15