不定积分习题 ∫e^xsinxdx

不定积分习题 ∫e^xsinxdx

楼上三位，一致对e^x情有独钟，他们都是对的。
通常，这类题既有e^x又有sinx或cosx的积分题，一般的解法是：
1、选定e^x，或选定sinx、cosx，就得“从一而终”，用分部积分的方法计算，
   中途不得更换。否则，一定解不出来；
2、积分过程中，连续两次使用分部积分，将会重复出现原来的积分形式，然后，
   当成一个方程，合并同类项后解出来。
下图用两种方法解答：
(点击放大、荧屏放大再放大)

∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=e^xsinx-∫e^xdsinx
=e^xsinx-∫e^xcosxdx
=e^xsinx-∫cosxde^x
=e^xsinx-e^xcosx+∫e^xdcosx
=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx
所以∫e^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2+C

令I =∫e^xsinxdx
I=∫e^xsinxdx = ∫sinxde^x
=e^xsinx - ∫e^xcosxdx
=e^xsinx - ∫cosxde^x
=e^xsinx - e^xcosx - ∫e^xsinxdx
=e^xsinx - e^xcosx - I
可以解出 I =(e^xsinx - e^xcosx )/2 +C

∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)
=e^xsinx-∫e^xcosxdx+C1
=e^xsinx-∫cosxd(e^x)+C1
=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinx+C1+C2
∴2 ∫e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx+C1+C2
∴∫e^xsinxdx=1/2e^x(sinx-cosx)+C