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椭圆2a=10,2c=6,F1,F2是其左右焦点,P是其上任意一点,I是三角形PF1F2内心,PI与x轴交于M,求PI比MI的大小?

答案:1  悬赏:60  手机版
解决时间 2021-11-18 01:09
椭圆2a=10,2c=6,F1,F2是其左右焦点,P是其上任意一点,I是三角形PF1F2内心,PI与x轴交于M,求PI比MI的大小?
最佳答案
这道题要用到一个结论:
在△ABC中,O是其内心,AO交BC于D则,
AO:OD=(AB+AC):BC.
证明很简单,利用面积法即可:
证明:
连接OC,OB;
分别过A,O向BC引垂线,垂足分别为M,N,
显然AM,ON分别是△ABC与△OBC的高;
显然AM//ON
此时△DON∽△DAM
故AD:OD=AM:ON
△ABC与△OBC同底,故其面积比即为它们的高之比即
△ABC的面积:△OBC的面积=AM:ON
由于O是△ABC的内心,即△ABC的内切圆的圆心,故O到△ABC三边的距离均相等(都等于内切圆的半径)
故△OAB,△OAC,△OBC等高,
△ABC的面积:△OBC的面积=(△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积):△OBC的面积
=(AB+AC+BC):BC(等高的三角形的面积比等于底之比)
于是有:
AD:OD=(AB+AC+BC):BC
又AD=AO+OD;由比例的性质可知:
AO:OD=(AB+AC):BC

有了这个结论,这道题就好做了PI:MI=(PF1+PF2):F1F2=10:6=5:3

另外,解析几何的题目并不一定要用数字量化的方法,有时欧式几何的一些结论用起来反而更简单.
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