数学中塞瓦定理什么时候学的。。我高一好像就知道了

数学中塞瓦定理什么时候学的。。我高一好像就知道了

塞瓦定理
　　在△ABC内任取一点O，
　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　证法简介
　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截，
　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
　　而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③
　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
　　可用塞瓦定理证明的其他定理;
　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
　　且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点
　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

塞瓦（giovanni ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 [编辑本段]具体内容　　塞瓦定理 　　在△abc内任取一点o， 　　直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，则 (bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 　　证法简介 　　（ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： 　　∵△adc被直线boe所截， 　　∴ (cb/bd)*(do/oa)*(ae/ec)=1 ① 　　而由△abd被直线cof所截，∴ (bc/cd)*(do/oa)*(af/fb)=1② 　　②÷①:即得：(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 　　（ⅱ）也可以利用面积关系证明 　　∵bd/dc=s△abd/s△acd=s△bod/s△cod=(s△abd-s△bod)/(s△acd-s△cod)=s△aob/s△aoc ③ 　　同理 ce/ea=s△boc/ s△aob ④ af/fb=s△aoc/s△boc ⑤ 　　③×④×⑤得bd/dc*ce/ea*af/fb=1 　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 　　设三边ab、bc、ac的垂足分别为d、e、f， 　　根据塞瓦定理逆定理，因为(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=[(cd*ctga）/[(cd*ctgb）]*[(ae*ctgb)/(ae*ctgc)]*[(bf*ctgc)/[(bf*ctga)]=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。 　　可用塞瓦定理证明的其他定理; 　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 d , e分别为bc , ac 中点 所以bd=dc ae=ec 所以bd/dc=1 ce/ea=1 　　且因为af=bf 所以 af/fb必等于1 所以af=fb 所以三角形三条中线交于一点 　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 　　在△abc的三边bc、ca、ab或其延长线上分别取l、m、n三点，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。于是al、bm、cn三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1） 塞瓦定理推论　　1.设e是△abd内任意一点，ae、be、de分别交对边于c、g、f，则(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 　　因为(bc/cd)*(dg/ga)*(af/fb)=1，（塞瓦定理）所以 (bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=k（k为未知参数）且(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=k（k为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=1 　　所以(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 　　2.塞瓦定理角元形式 　　ad,be,cf交于一点的充分必要条件是： 　　(sin∠bad/sin∠dac)*(sin∠acf/sin∠fcb)*(sin∠cbe/sin∠eba)=1 　　由正弦定理及三角形面积公式易证 　　3.如图，对于圆周上顺次6点a,b,c,d,e,f，直线ad,be,cf交于一点的充分必要条件是： 　　(ab/bc)*(cd/de)*(ef/fa)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 　　4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 　　设三边ab、bc、ac的垂足分别为d、e、f，根据塞瓦定理逆定 理，因为(ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=[(cd*ctga）/[(cd*ctgb）]*[(ae*ctgb)/(ae*ctgc)]*[(bf*ctgc)/[(ae*ctgb)]=1，所以三条高cd、ae、bf交于一点。

 

 

 

详见 http://baike.baidu.com/view/148207.htm?fr=ala0_1_1

 

1. http://gaoyun63.nease.net/olpc/jhdl.htm

2. http://wenwen.sogou.com/z/q784694706.htm