为何“当limx→∞f(x)=0时，存在X> 0,当x >X时，f(x)有界”命题错误呢？

为何“当limx→∞f(x)=0时，存在X> 0,当x >X时，f(x)有界”命题错误呢？

当x趋于+∞时，limf(x)=0，按极限定义表述为，对任意ε>0，存在X>0，使得当x>X时，|f(x)|<ε。从最后这个不等式似乎可以得出f(x)有界，其实不然，因为这里的ε是任意选取的，而X是依赖于ε的，即选取的ε不同，那么找到的X也不同，因此X是一个变化的数，而不可能是一个事先可以确定的数，但是函数在某个区间上有界，要求这区间是确定的，说函数在一个变化的区间上有界没有意义。本题反映的是函数的局部有界性，注意这局部有界性只能保证函数在某个范围内有界，但这范围是不能准确给出的。