若关于x的方程lg（ax）·lg（ax²）=4的所有解都大于1，求实数a的取值范围

若关于x的方程lg（ax）·lg（ax²）=4的所有解都大于1，求实数a的取值范围

[例7]若方程lg(ax)·lg(ax²)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。

思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。

解：原方程化为

(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。

2lg²x+3lga·lgx+lg²a-4=0，

令t=lgx，则原方程等价于

2t²+3tlga+lg²a-4=0，(*)

若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则

ax²>0,可知a>0

lg(ax)×lg(ax²)=(lga+lgx)(lga+2lgx)=2lg²x+3lga×lgx+lg²a=4

2lg²x+3lga×lgx+lg²a-4=0

令t=lgx,则2t²+3lga×t+lg²a-4=0

x>1时t>0,即方程所有的解都大于0

两根之和 -3lga>0, lga<0

两根之积 lg²a-4>0, lga>2或lga<-2

方程有解 △=9lg²a-8(lg²a-4)=lg²a+32>0

∴lga<-2

∴0<a<10^(-2)=0.01

即a的范围为(0,0.01)