设二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．

设二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=log₂[g（x）-f（x）]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．

（1）f（0）=1?c=1，f（1）=4?a+b+c=4

∴f(x)＝ax2+(3?a)x+1
f(x)≥4x即ax2?(a+1)x+1≥0恒成立得
由

a＞0
(a+1)2?4a≤0?a＝1
∴f(x)＝x2+2x+1
（2）F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x）
由F（x）在区间[1，2]上是增函数得h（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上为增函数且恒正
故

k?2
2≥2
?1+k?2＞0?k≥6，
实数k的取值范围k≥6．

试题解析：

（1）先利用图象过点（0，1）和（1，4），将点的坐标代入函数解析式得到关于a，b，c的关系式，再结合不等式f（x）≥4x对于任意的x∈R均成立，移项后变成二次函数的一般形式，只需△≤0即可求得a，b，c的值，最后写出函数f（x）的表达式．
（2）由于F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x），设h（x）=-x²+（k-2）x，由二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的关系即可．

名师点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；二次函数的性质．
考点点评： 本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，二次函数的单调区间有开口方向和对称轴的位置共同决定，在没说明开口方向时一定要注意比较对称轴和区间端点的关系．