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已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.

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解决时间 2021-08-20 12:42
已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
最佳答案

f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a)若a≤0,则f'(x)=-3(x2-a)≤0,此时函数f(x)单调递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(0)=0若a>0,令f'(x)=-3(x2-a)=0,解得x=±
a,∵x∈[0,1],则只考虑x=
a的情况,如表所示:①当0<a<1时,根据函数的增减性得,当x=
a时,f(x)有最大值,f(x)max=f(
a)=2a
a;②当
a≥1,即a≥1时,根据函数的增减性得当x=1时,f(x)有最大值.f(x)max=f(1)=3a-1.综合以上可知:当a≤0时,x=0,f(x)有最大值0;当0<a<1时,x=
a,f(x)有最大值2a
a;当a≥1时,x=1,f(x)有最大值3a-1.
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