xy'+y=y的平方 解可分离变量方程

xy'+y=y的平方 解可分离变量方程

由xy=u,得y=u/x,y'=(xu'-u)/x²代入方程：x²/u(xu'-u)/x²=f(u)xu'-u=uf(u)du/[u+uf(u)]=dx/x要看f(u)的解析式是啥，这样才能积分。比如f(u)为多项式，则左边积分为有理积分，可为部分分式再积。

1、方程写作(xy)'=xyln(xy)/x，令u=xy，微分方程化为du/dx=ulnu/x，分量变量du/(ulnu)=dx/x，两边积分ln(lnu)=lnx+lnc，所以lnu=cx，原方程的通解是lnx+lny=cx。 2、方程写作y'+cosx=(y+sinx-1)^2，令u=y+sinx-1，微分方程化作du/dx=u^2，分量变量du/u^2=dx，两边积分-1/u=x+c，所以原方程的通解是-1/(y+sinx-1)=x+c或者y=-1/(x+c)-sinx+1。