如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．
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解决时间 2021-12-18 14:35
- 提问者网友：献世佛
- 2021-12-17 16:40
如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．
最佳答案
- 五星知识达人网友：平生事
- 2021-12-17 16:58
证明：∵AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（对顶角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角对等边）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．解析分析：在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ与∠CEP是对顶角，由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根据等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．点评：本题利用了直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等，等角对等边求解．
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（对顶角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角对等边）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．解析分析：在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ与∠CEP是对顶角，由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根据等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．点评：本题利用了直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等，等角对等边求解．
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- 1楼网友：时间的尘埃
- 2021-12-17 17:10
谢谢回答！！！
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