拓扑学怎么才能入门呢?这门数学课程很难学啊!

拓扑学怎么才能入门呢?这门数学课程很难学啊!

世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

什么是拓扑学？

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

其它数学分支学科

算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学

反对后果地方

我是学数学的，我也没学很懂！很抽象，都是抽象空间上的讨论！要学好可能要花些时间！

不用打110就可知道。

1 几何
1.1 几何原本
1.2 La Géométrie(几何学)
2 逻辑
2.1 概念文字(Begriffsschrift)
2.2 数学公式汇编(Formulario mathematico)
2.3 数学原理(Principia Mathematica)
2.4 哥德尔不完备定理
3 信息论
4 数论
4.1 算术研究(Disquisitiones Arithmeticae,或译整数论研考)
4.2 关于小于给定值的质数(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)
4.3 数论讲义(Vorlesungen über Zahlentheorie)
4.4 数论，从汉默拉比到勒让德的历史的方法(Number Theory, An approach through history from
Hammurapi to Legendre)
4.5 数论导引(An Introduction to the Theory of Numbers)
5 微积分
5.1 自然哲学的数学原理(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
5.2 普通读者的牛顿原理(Newton's Principia for the Common Reader)
6 数值分析
6.1 流数法(Method of Fluxions)
7 博弈论
7.1 博弈的演变和理论(Evolution and the Theory of Games)
7.2 博弈和经济行为的理论(Theory of Games and Economic Behavior)
7.3 论数字和博弈(On Numbers and Games)
7.4 数学玩家的制胜之道(Winning Ways for your Mathematical Plays)
8 分形
8.1 英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度
9 早期手稿
9.1 兰德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)
9.2 九章算术
9.3 阿基米德重写本(Archimedes Palimpsest)
9.4 沙计算手册(The Sand Reckoner)
10 教科书
10.1 纯数学教程(Course of Pure Mathematics)
10.2 问题求解艺术(Art of Problem Solving)
10.3 原逻辑: 标准一阶逻辑的元理论入门
11 流行读物
11.1 《哥德尔、埃舍尔、巴赫》
11.2 数学世界
12 算术
12.1 算术:或者说，艺术的基础(Arithmetick: or, The Grounde of Arts)
12.2 校长的助手，实用和理论算术的综述
13 抽象代数
13.1 现代代数(Moderne Algebra)
14 线性代数
15 代数几何
15.1 代数凝聚层(Faisceaux Algébriques Cohérents)
15.2 代数几何和解析几何(Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique)
15.3 代数几何基础(Éléments de géométrie algébrique)
15.4 代数几何研讨会(Séminaire de géométrie algébrique)
15.5 代数几何
16 泛代数
17 群论
18 单群
19 拓扑
19.1 拓扑学
20 图论
21 范畴论
21.1 数学工作者的范畴(Categories for the Working Mathematician)
21.2 计算科学的范畴论(Category Theory for Computing Science)
22 序理论
23 三角学
24 微分几何
25 微分拓扑
25.1 微分观点看拓扑(Topology from the Differentiable Viewpoint)
26 代数拓扑
26.1 代数拓扑
27 分形几何
28 离散数学
29 组合论
30 集合论
30.1 简单集合论(Naive Set Theory)
30.2 基数和序数(Cardinal and Ordinal Numbers)
30.3 连续统假设的一致性(The Consistency of the Continuum Hypothesis)
30.4 集合论和连续统假设(Set Theory and the Continuum Hypothesis)
31 优化原理
31.1 新变分法(The New Variational Method)
31.2 线性规划分解原理(Decomposition Principle for Linear Programs)
31.3 网络流和一般匹配(Network Flows and General Matchings)
31.4 路径，树和花(Paths, trees and Flowers)
31.5 定理证明过程的复杂度(The complexity of theorem proving procedures)
31.6 组合问题中的可归约性(Reducibility among combinatorial problems)
31.7 单纯形算法有多好?(How good is the simplex algorithm?)
31.8 线性规划和多项式时间算法(Linear Programming and Polynomial time algorithms)
31.9 线性规划的新多项式时间算法(New polynomial-time algorithm for linear
programming)
31.10 凸规划的内点多项式算法(Interior Point Polynomial Algorithms in Convex
Programming)