已知对任意x,f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b求证f(x)为周期函数周期为4|a-b|

已知对任意x,f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b求证f(x)为周期函数周期为4|a-b|
求详细证明过程

证明； ∵ f(a+x)=f(a-x) 令a-x =t ∴f(t)=f(2a-t) ①
∵ f(b+x)=-f(b-x) 令b-x =t ∴f(t)= - f(2b-t) ②
由①② 得 f(2a-t)= - f(2b-t) = - f[(2a-t)+(2b-2a)]
令 2a-t =X 得 f(X)= - f[ X+ (2b-2a)] ③
有∵f[ X+ (2b-2a)] = - f[ X+ (2b-2a)+ (2b-2a)] = - f[ X+ (4b-4a)] ④
由③④得 f(X)=f[ X+ (4b-4a)] T=4|a-b|

|f(a+x)=f(a-x) 令t=a+x 则x=t-a 代入上式得 f(t)=f(2a-t) 即f(x)=f(2a-x)....(1) 同理由f(b+x)=f(b-x)可得 f(x)=f(2b-x)....(2) 由（1），（2）可知 f(2a-x)=f(2b-x) 再令t=2a-x,则x=2a-t代入上式得 f(t)=f(t+2b-2a) 即f(x)=f(x + 2b-2a) 所以2b-2a是f（x）的一个周期 所以2(a-b)也是它的一个周期