一道由递推求通项
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解决时间 2021-04-07 01:50
- 提问者网友：富士山上尢
- 2021-04-06 15:31
一道由递推求通项
最佳答案
- 五星知识达人网友：独行浪子会拥风
- 2021-04-06 16:13
解：
a(n+1)=(5an+4)/(2an+7)
a(n+1)-1=[5an+4-(2an+7)]/(2an+7)=3(an-1)/(2an+7)
a(n+1)+2=[5an+4+2(2an+7)]/(2an+7)=9(an+2)/(2an+7)
[a(n+1)-1]/[a(n+1)+2]=⅓[(an-1)/(an+2)]
{[a(n+1)-1]/[a(n+1)+2]}/[(an-1)/(an+2)]=⅓，为定值
(a1-1)/(a1+2)=(2-1)/(2+2)=¼
数列{(an-1)/(an+2)}是以¼为首项，⅓为公比的等比数列
(an-1)/(an+2)=¼·⅓ⁿ⁻¹
(1-¼·⅓ⁿ⁻¹)an=1+2·¼·⅓ⁿ⁻¹
an=(1+2·¼·⅓ⁿ⁻¹)/(1-¼·⅓ⁿ⁻¹)=(4·3ⁿ⁻¹+2)/(4·3ⁿ⁻¹-1)
n=1时，a1=(4·3⁰+2)/(4·3⁰-1)=2，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=(4·3ⁿ⁻¹+2)/(4·3ⁿ⁻¹-1)
a(n+1)=(5an+4)/(2an+7)
a(n+1)-1=[5an+4-(2an+7)]/(2an+7)=3(an-1)/(2an+7)
a(n+1)+2=[5an+4+2(2an+7)]/(2an+7)=9(an+2)/(2an+7)
[a(n+1)-1]/[a(n+1)+2]=⅓[(an-1)/(an+2)]
{[a(n+1)-1]/[a(n+1)+2]}/[(an-1)/(an+2)]=⅓，为定值
(a1-1)/(a1+2)=(2-1)/(2+2)=¼
数列{(an-1)/(an+2)}是以¼为首项，⅓为公比的等比数列
(an-1)/(an+2)=¼·⅓ⁿ⁻¹
(1-¼·⅓ⁿ⁻¹)an=1+2·¼·⅓ⁿ⁻¹
an=(1+2·¼·⅓ⁿ⁻¹)/(1-¼·⅓ⁿ⁻¹)=(4·3ⁿ⁻¹+2)/(4·3ⁿ⁻¹-1)
n=1时，a1=(4·3⁰+2)/(4·3⁰-1)=2，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=(4·3ⁿ⁻¹+2)/(4·3ⁿ⁻¹-1)
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