高一数学：已知a、b为正数,且a+b=2,则1/（1+a^2）+1/（1+b^2）=

基本不等式的问题
已知a、b为正数,且a+b=2,则1/（1+a^2）+1/（1+b^2）=？
答案是不是1？能详细解释一下吗？谢谢！

不好意思，是求这个式子的最小值

1.
∵a>0,b>0
∴2ab≤a²+b²
∴4ab≤a²+b²+2ab
∴ab≤(a+b)²/4
∵a+b=2
∴ab≤1
∴a²b²≤1
2.
∵1/(1+a²)+1/(1+b²)
=(1+b²+1+a²)/(1+a²+b²+a²b²) (通分）
≥(1+a²+b²+1)/(1+a²+b²+1) (利用a^²b²≤1进行缩放)
=1 (仅当a=b=1时等号成立.)
3.
1/(1+a²)+1/(1+b²)的最小值为1

通分=1+（1-a^2*b^2）/(1+a^2+b^2+a^2*b^2) a+b=2，所以ab<=1 所以分子>=0，所以最小值是1

a^2+b^2>=2ab, (ab)^2+a^2+b^2+1>=(ab)^2+2ab+1, (1+ab)^2<=(a^2+1)(b^2+1), (ab+1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)<=(a+b)(ab+1), a(b^2+1)+b(a^2+1)/(a^2+1)(b^2+1)<=(a+b)/(ab+1)

1/（1+a^2）+1/（1+b^2）=(1+a^2+1+b^2)/(1+a^2)(1+b^2)=(2+a^2+b^2)/(1+a^2+b^2+a^2b^2) 根据基本不等式ab<=(a+b)^2/4,所以ab<=1. 于是上式>=(2+a^2+b^2)/(2+a^2+b^2)>=1. 因此最小值是1