设f（x）在（-∞，0]上连续，且满足∫x0tf（t2-x2）dt=x21+x2-12ln（1+x2），求f（x）及其极小值

设f（x）在（-∞，0]上连续，且满足∫x0tf（t2-x2）dt=x21+x2-12ln（1+x2），求f（x）及其极小值．

解答：解  令u=t2-x2，du=2tdt，
∫ x
0
tf(t2?x2)dt＝
1
2
∫ 0
?x2
f(u)du，
故
1
2
∫ 0
?x2
f(u)du＝
x2
1+x2 ?
1
2 ln(1+x2)，
再令t=-x2，
1
2
∫ 0
t
f(u)du＝
?t
1?t ?
1
2 ln(1?t)
即
∫ t
0
f(u)du＝
?2t
1?t ?ln(1?t)，
对t求导，得f(t)＝
2
(1?t)2 ?
1
1?t ＝
1+t
(1?t)2   (t＜0)，
故f(x)＝
1+x
(1?x)2   (x＜0)f′(x)＝
3+x
(1?x)3 ＝0?x＝?3，
当x＜-3时，f'（x）＜0，当-3＜x＜0时，f'（x）＞0，
所以x=-3，f（x）取得极小值f(?3)＝?
1
8 ．