特征多项式

特征多项式

要理解特征多项式,首先需要了解一下特征值与特征向量,这些都是联系在一起的：
设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使得关系式
Ax=λx
成立,那么,这样的数λ就称为方阵A的特征值,非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量.
然后,我们也就可以对关系式进行变换：
(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是系数行列式为0,即
|A-λE|=0
带入具体的数字或者符号,可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程,左端 |A-λE|是λ的n次多项式,也称为方阵A的特征多项式.
解法：
1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来,若相等,则把相等的部分提出来（一次因式）后,剩下的部分是二次多项式,肯定可以分解因式.
2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零,往往会出现公因子,提出来,剩下的又是一二次多项式.
3、试根法分解因式.