设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)

设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)

f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt=e^x-x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt 可知f(0)=1求导：f'(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt-x*f(x)+x*f(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt f'(0)=1继续求导：f''(x)=e^x-f(x)f''(x)+f(x)=e^x解这个二阶线性微分方程通解为f(x)=c1sinx+c2cosx+e^x/2f(0)=f'(0)=1 所以c2=1/2 c1=1/2f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)======以下答案可供参考======供参考答案1:ƒ(x) = e^x - ∫(0→x) (x - t)ƒ(t) dtƒ(x) = e^x - x∫(0→x) ƒ(t) dt + ∫(0→x) tƒ(t) dt，两边求导ƒ'(x) = e^x - ∫(0→x) ƒ(t) dt - xƒ(x) + xƒ(x)ƒ'(x) = e^x - ∫(0→x) ƒ(t) dt，两边求导ƒ''(x) = e^x - ƒ(x)==> y'' + y = e^x，现在换成解微分方程λ² + 1 = 0 ==> λ = i OR λ = - i一般解为y = Acosx + Bsinx令特解y = Ne^x，y'' = Ne^x，代入y'' + y = e^x中Ne^x + Ne^x = e^x ==> N = 1/2通解为y = Acosx + Bsinx + (1/2)e^x所以ƒ(x) = Acosx + Bsinx + (1/2)e^x，其中A，B均为常数。供参考答案2:f''=e^x-f(x), f(0)=1=f'(0)①y''+y=e^x②r^2+1=0y''+y=0的通y=c1sinx+c2cosxy*=ae^x 代入②：a=1/2②通y=c1sinx+c2cosx+e^x/2代入①：c1=c2=1/2∴y=f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)

谢谢回答！！！