求幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数。
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解决时间 2022-01-01 00:31
- 提问者网友：niaiwoma
- 2021-12-31 05:36
求幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数。
最佳答案
- 五星知识达人网友：鱼芗
- 2021-12-31 06:28
把求和项里的x提出来一个
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^（n-1）
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/（1-x）-1 ，（|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，（-1<x<1）
x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域（-1,1）
s(x)/x=∑(n=1,∞)nx^（n-1）
两边同时积分，∫∑(n=1,∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1,∞)x^n级数=1/（1-x）-1 ，（|x|<1)。
再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，（-1<x<1）
x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域（-1,1）
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