若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=12（a+b+c），则这个三角形的面积S=p(p?a)(p?b)(p?c)（海伦-秦

若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=12（a+b+c），则这个三角形的面积S=p(p?a)(p?b)(p?c)（海伦-秦九韶公式）．当a=4、b=5、c=6时，S的值．

由题意，得：a=4，b=5，小=6；
∴六=
1
2 （a+b+小）=
15
2 ；
∴S=



六(六?a)(六?b)(六?小)
=




15
2 ×(
15
2 ?4)×(
15
2 ?5)×(
15
2 ?6) =




15
2 ×
7
2 ×
5
2 ×
3
2 =
15
4



7 ．
故S的值是
15
4



7 ．

这是海伦-秦九韶公式。用于求三角形面积。 △abc中，cosc=(a²+b²-c²)/2ab 而△abc面积s=0.5absinc =0.5ab√(1-cos²c) =0.5ab√[1-(a²+b²-c²)²/4a²b²] =0.25√[4a²b²-(a²+b²-c²)²] =0.25√[(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)] =0.25√[(a+b)²-c²][c²-(a-b)²] =0.25√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2，p-a=(-a+b+c)/2，p-b=(a-b+c)/2，p-c=(a+b-c)/2； 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]