数学证明题：等差数列依次每k项的和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……,仍成等差数列,其公差为原

数学证明题：等差数列依次每k项的和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……,仍成等差数列,其公差为原

证明：利用等差数列的定义即可设等差数列{an}的公差为d则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……,的通项是bn= a(nk-k+1)+a(nk-k+2)+.+a(nk)∴ b(n+1)= a(nk+1)+a(nk+2)+.+a(nk+k)∴ b(n+1)-b(n)=[a(nk+1)+a(nk+2)+.+a(nk+k)]-[ a(nk-k+1)+a(nk-k+2)+.+a(nk)]=[a(nk+1)-a(nk-k+1)]+[a(nk+2)-a(nk-k+2)]+.+[a(nk+k)-a(nk)]= kd + kd +.+ kd共有k个=k²d（是一个常数）∴ ：等差数列依次每k项的和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……,仍成等差数列,其公差为原公差的k^2倍.======以下答案可供参考======供参考答案1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差为n^2*d证明如下：Sk=ka1+k(k-1)d/2S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2(S2k-Sk）-Sk=k^2*d(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d所以等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列例子如下：设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6 成等差数列则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)得到s9-s6=2s6-3s3=45故a7+a8+a9=45第二个例子设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12则 S2, S4-S2, S6-S4 成等差数列，S2=6，S4-S2=14，S6-S4=22，它们的公差是8，是2^2 *2，所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。继续上面这个题，求S20-S18的值因为S2, S4-S2, S6-S4，........是首项为S2，公差为8的等差数列所以S20-S18=S2+8*9=6+72=78

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