21、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形

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解决时间 2021-04-06 08:50

提问者网友：你给我的爱
2021-04-05 18:19

21、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）
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（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

最佳答案

五星知识达人网友：煞尾
2021-04-05 18:45

解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；

（2）∵△AGC∽△HAB，

∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，

∴y=81/x，（0＜x＜ 9√2）

（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论：

①当∠GCH=45°时，GA=GH，△AGH是等腰三角形，如图（1）可知GH=CG=x= 9√2/2

②当AG=AH时，△AGH是等腰三角形，如图（2）可知

∠AGC=∠AHG=∠C+∠CAH=∠HAG+∠CAH=∠CAG，∴x=CG=CA=9．

③当∠HGA=45°，CA=CG，△AGH是等腰三角形，x=CG=CB=9√2．

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1楼网友：从此江山别
2021-04-05 23:35

【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴ ，即，所以，（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG= 时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，GC= ，即x= 当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

2楼网友：风格不统一
2021-04-05 22:53

3楼网友：荒野風
2021-04-05 21:51

（1）∵△abc与△efd为等腰直角三角形，ac与de重合， ∵∠h+∠hac=45°，∠hac+∠cag=45°， ∴∠h=∠cag， ∵∠acg=∠b=45°， ∴△agc∽△hab， ∴同理可得出：△agc∽△hga， ∴始终与△agc相似的三角形有△hab和△hga；故答案为：△hab和△hga．（2）∵△agc∽△hab， ∴ac：hb=gc：ab，即9：y=x：9， ∴y= 81x ， ∵ab=ac=9，∠bac=90°， ∴bc= ab2+ac2 = 92+92 =9 2 ．答：y关于x的函数关系式为y= 81x （0＜x＜9 2 ）；（3）①当cg＜ 12 bc时，∠gac=∠h＜∠hac， ∴ac＜ch， ∵ag＜ac， ∴ag＜ch＜gh，又∵ah＞ag，ah＞gh，此时，△agh不可能是等腰三角形， ②当cg= 12 bc时，g为bc的中点，h与c重合，△agh是等腰三角形，此时，gc= 922 ，即x= 922 ， ③当cg＞ 12 bc时，由（1）△agc∽△hga， ∴，若△agh必是等腰三角形，只可能存在gh=ah，若gh=ah，则ac=cg，此时x=9，如图3，当cg=bc时，注意：df才旋转到与bc垂直的位置，此时b，e，g重合，∠agh=∠gah=45°， ∴△agh为等腰三角形，所以cg=9 2 ．综上所述，当x=9或x= 922 或9 2 时，△agh是等腰三角形．

4楼网友：青灯有味
2021-04-05 20:51

（1）、△HAB △HGA；（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0

5楼网友：你哪知我潦倒为你
2021-04-05 20:09

解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合， ∵∠HAG=∠B=45°，∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°， ∴∠H=∠CAG， ∴△HAB∽△HGA， ∴始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；故答案为：△HAB和△HGA．（2）∵△AGC∽△HAB， ∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9， ∴y=81：x（0＜x≤9+922），答：y关于x的函数关系式为y=81：x（0＜x≤9+922）．（3）∵∠GAH=45°，分两种情况讨论： ①当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图（1）： ∵AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=AG，根据勾股定理得：AC2=CG2+AG2， ∴CG=AG=922；当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如下图：此时点B，点G与点E重合， ∵AB=AC=9，在等腰直角三角形ACG中，CG=BC，根据勾股定理得：CG2=AB2+AC2， ∴CG=92； ②当∠GAH=45°是等腰三角形的顶角时如图（2）：由△HGA∽△HAB， ∵AG=AH， ∴∠AHG=∠AGH=12（180°-45°）=67.5°， ∴∠BAH=180°-∠B-∠AHB=67.5°=∠AHG， ∴HB=AB=9，同理AC=CG， ∴BG=HC，可得：CG=x=9．答：当x为922、92或9时，△AGH是等腰三角形．不是百度里的

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