求证sin^2A+2sinBsinCcosA=sin^2B+sin^2C
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解决时间 2021-02-04 12:44
- 提问者网友：佞臣
- 2021-02-04 02:52
求证sin^2A+2sinBsinCcosA=sin^2B+sin^2C
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒醒三更
- 2021-02-04 03:50
【补充：A+B+C=180°】
证明：
∵A+B+C=180°，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）
sin²A+2sinBsinCcosA
=（sinBcosC+cosBsinC）²-2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC）
=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sinBsinCcosBcosC-2sinBsinCcosBcosC+2sin²Bsin²C
=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sin²Bsin²C
=sin²B（cos²C+sin²C）+sin²C（cos²B+sin²B）
=sin²B+sin²C
证明：
∵A+B+C=180°，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）
sin²A+2sinBsinCcosA
=（sinBcosC+cosBsinC）²-2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC）
=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sinBsinCcosBcosC-2sinBsinCcosBcosC+2sin²Bsin²C
=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sin²Bsin²C
=sin²B（cos²C+sin²C）+sin²C（cos²B+sin²B）
=sin²B+sin²C
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