求幂级数(x-1)^n/4^n的收敛域及其和函数
答案:6 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-04-03 11:13
- 提问者网友:却不属于对方
- 2021-04-02 17:32
求幂级数(x-1)^n/4^n的收敛域及其和函数
最佳答案
- 五星知识达人网友:渊鱼
- 2021-04-02 18:00
追问谢谢!
全部回答
- 1楼网友:渡鹤影
- 2021-04-02 22:18
引用feiyida的回答:
是-3到5吧,不等式解错了
是-3到5吧,不等式解错了
- 2楼网友:逃夭
- 2021-04-02 21:06
kmjshaqi ........................
- 3楼网友:一秋
- 2021-04-02 20:50
等比数列性质,另a=(x-1)/4
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3 和函数代入a的表达式就可以了
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3
- 4楼网友:長槍戰八方
- 2021-04-02 19:11
先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分:
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导:
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分:
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导:
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)
- 5楼网友:孤老序
- 2021-04-02 18:52
等比数列性质,另a=(x-1)/4
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3 和函数代入a的表达式就可以了追问感谢你!感谢你!
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3
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