已知：f[x]定义域为x属于一切实数，且f[x1+x2]=f[x1]+f[x2],x>0时，f[x]<0,f[1]=-1/2，求不等式f[a]+f[a+1]≥-2的解集
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解决时间 2021-07-25 16:05
- 提问者网友：泪痣哥哥
- 2021-07-25 06:58
已知：f[x]定义域为x属于一切实数，且f[x1+x2]=f[x1]+f[x2],x>0时，f[x]<0,f[1]=-1/2，求不等式f[a]+f[a+1]≥-2的解集
最佳答案
- 五星知识达人网友：等灯
- 2021-07-25 07:05
解：令x1=-x1,x2=-x2,则
f[-x1-x2]=f[-x1]+f[-x2]
因为f[x1+x2]=f[x1]+f[x2]
所以f[x1+x2]+f[-x1-x2]==f[x1]+f[x2]+f[-x1]+f[-x2]
所以f[x1+x2-x1-x2]=f[x1]+f[-x1]+f[-x2]+f[x2]
所以f[0]=f[0]+f[0]
f[0]=2f[0]
所以f[0]=0
又令x2=-x1则
因为f[x1+x2]=f[x1]+f[x2]
所以f[x1-x1]=f[x1]+f[-x1]
f[0]=f[x1]+f[-x1]
所以f[x1]+f[-x1]=0
f[-x1]=-f[x1]
又因为x1是定义域内的任意数
所以f[-x]=-f[x]
所以原函数f[x]为奇函数
所以f[a]+f[a+1]≥-2可以变形为
f[a+a+1]≥-2
f[2a+1]≥-2
f[2a+1]≥-2
又因为f[1]=-1/2，
4f[1]=-2
所以f[2a+1]≥-2可以变形为
f[2a+1]≥-4f[1]，移项得
f[2a+1]+4f[1]≥0,变形为
f[2a+1]+f[1]+f[1]+f[1]+f[1]≥0,所以
f[2a+1]+ f[4]≥0,所以
f[2a+5]≥0，因为原函数为奇函数
所以f[-2a-5]=-f[2a+5],
又因为f[2a+5]≥0，所以-f[2a+5]≤0
所以f[-2a-5]≤0
又因为，题目已知，当x>0时，f[x]<0
所以可以推知
-2a-5≥0
即2a+5≤0
a≤-5/2
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