求解释线积分的定义，最好举几个例子说一下怎么计算

求解释线积分的定义，最好举几个例子说一下怎么计算

线性积分和定积分计算的原理是一样的，只是由定积分中dx、dy变化为ds，其中ds是指积分曲线上的一段微弧长，在直角坐标系中微弧长度计算可以利用直角三角形三边关系式计算，当ds足够小时可以将dx、dy、ds三边构成直角三角形来计算，即a^2+b^2=c^2，利用这种关系式有dx^2+dy^2=ds^2，ds=（dx^2+dy^2）^(1/2)=[1+(dy/dx)^2]dx=[1+(dx/dy)^2]dy（这里由于dx、dy、ds都是长度，故大于零），化为这种关系后可以直接利用定积分的计算方式来计算，别忘了积分上下限需要跟着变化的，可以再坐标系中画个图看下就明白了，定积分学会了很简单的。

举例先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ， 设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。定义设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。