初中数学解高次方程

初中数学解高次方程

答：

(x^2+x+1)/(x^2+1)+(2x^2+x+2)/(x^2+x+1)=19/6
(x^2+x+1)/(x^2+1)+(x^2+x+1+x^2+1)/(x^2+x+1)=19/6
(x^2+x+1)/(x^2+1)+(x^2+1)/(x^2+x+1) +1=19/6
设a=(x^2+x+1)/(x^2+1)>0，则方程化为：
a+1/a +1=19/6
a+1/a=13/6
两边同时乘以6a：
6a^2+6=13a
6a^2-13a+6=0
(3a-2)(2a-3)=0
a=2/3或者a=3/2

a=(x^2+x+1)/(x^2+1)=2/3
1+x/(x^2+1)=2/3
x/(x^2+1)=-1/3
x^2+1=-3x
x^2+3x+1=0
x=(-3±√5)/2

a=(x^2+x+1)/(x^2+1)=3/2
x/(x^2+1)=1/2
x^2+1=2x
x^2-2x+1=0
x=1

经检验，x=1或者x=(-3±√5)/2都是原分式方程的根

x^2+x+1/x^2+1 + 2x^2+x+2/x^2+x+1=19/6
1 + x/x^2+1 + 1 + x^2+1/x^2+x+1=19/6
x/x^2+1 + x^2+1/x^2+x+1=7/6
x^4+x^3+3x^2+x+1/x^4+x^3+2x^2+x+1=7/6
1 + x^2/x^4+x^3+2x^2+x+1=7/6
x^2/x^4+x^3+2x^2+x+1=1/6
x^4+x^3-4x^2+x+1=0
(x^4-2x^2+1)+(x^3-2x^2+x)=0
(x^2-1)^2+x(x-1)^2=0
[(x+1)(x-1)]^2+x(x-1)^2=0
(x+1)^2(x-1)^2+x(x-1)^2=0
(x-1)^2[(x+1)^2+x]=0
(x-1)^2(x^2+3x+1)=0
所以(x-1)=0或x^2+3x+1=0，
解得x=1或（-3±√5）/2

原式<=>(x^2+x+1)/(x^2+1)+(x^2+1)/(x^2+x+1)=13/6
令t=(x^2+x+1)/(x^2+1) 则3/2>=t>=1/2
所以 原式<=>t+1/t=13/6
解得t=2/3或3/2
即(x^2+x+1)/(x^2+ 1)=2/3或3/2
解得x=1

记a=x^2+1
b=x^2+x+1
并令t=a/b
原方程化为：(a+b)/b+b/a=19/6
即a/b+1+b/a=19/6
a/b+b/a=13/6
即t+1/t=13/6
t^2-13/6*t+1=0
(t-3/2)(t-2/3)=0
t=3/2或2/3
t=3/2时，2a=3b, 即2x^2+2=3x^2+3x+3,得：x^2+3x+1=0, 得：x=(-3+ √5)/2, (-3- √5)/2
t=2/3时，2b=3a,即2x^2+2x+2=3x^2+3,得：x^2-2x+1=0,得: x=1
所以原方程共有以上3个解。望采纳 谢谢 亲