问数学题目？

设函数y=f（x）定义在R上，对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）f（n）且x大于0时，0＜f（x）＜1.求证f（x）在R上是减函数

证明:∵f(m+n)=f(m)*f(n). ∴ 将m=n=0代入 , 则可得 f(0)=f(0)^2 , 即 f(0)=0 或 f(0)=1

若f(0)=0 , 设任意m<0 ,n=0代入,则可得f(m)=f(m)*f(0)=0, 因为 当x<0时，f（x）>1 所以f(0)=0不成立

∴f(0)=1

设任意x>0 ,则-x<0 代入x和-x ,可得 f(0)=f(x)*f(-x)=1, 所以 f(-x)=1/f(x)

因为 当x>0时, 0<f(x)<1 , 所以 1/f(x) >1, 即 f(-x)>1 (-x<0)

∴ 当x<0时， f(x)>1

且f(x)>0在R上恒成立.

设任意x1、x2 ∈R , 且x1<x2

则f(x1)- f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)

=f(x1)-f(x1)*f(x2-x1)

=f(x1)*[1-f(x2-x1)] ∵x1<x2 ∴ x2-x1>0 ∵ 当x>0时, 0<f(x)<1 ∴0<f(x2-x1)<1

∴ 0<1- f(x2-x1)<1 又∵f(x)>0在R上恒成立. ∴f(x1)>0

∴f(x1)>f(x2)

∴f(x)在R上单调递减.

设X1,X2是R上的任意俩个数,且X2>X1.

F(X2)=F(X2-X1+X1)=F(X2-X1)F(X1)则

F(X2)/F(X1)=F(X2-X1),由于X2>X1.则X2-X1>0,则0<F(X2-X1)<1,

即0<F(X2)/F(X1)<1,

则F(X2)<F(X1).所以F(X)在R上是减函数.

f（m+n）=f（m）f（n）

令m=0,n>0得f(n)=f(0)f(n)

而当x大于0时，0＜f（x）＜1时,即f(n)不等于0

所以f(0)=1

当x>0时-x<0

f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)=1

f(-x)=1/f(x) >1

所以不管x取何值,f(x)>0恒成立

设x1<x2

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]

因为x2>x1,即x2-x1>0

所以f(x1)>0,且f(x2-x1)<1

所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2)

所以f（x）在R上是减函数