什么是L2空间？

什么是L2空间？

平方可积函数空间

对于任意可测集e，如果函数f的平方在e上的积分是有限的，则称f属于l2(e)。换言之，l2(e)就是在e上平方积分有限的函数的全体。 类似可以定义lp空间(p>0)，将上文中的平方换成绝对值的p次方就可以了。 为了定义h1空间，先要定义两个概念。 设d是一个区域（n维）。 定义1：按l2(d)收敛 如果当m趋于无穷时，um-u的完全平方在d上的积分趋于0，我们就说um按l2(d)收敛于u。 定义2：强广义微商 设u属于l2(d)，如果存在序列{um}（um不一定属于l2(d)，但是每个um在d的闭包上都有连续导函数），un满足：um按l2(d)收敛于u，并且um对每一个坐标分量xi（n维的就是x1,x2,...,xn）的偏导数都按l2(d)收敛于vi（新的函数），那么就称u关于x=(x1,x2,...,xn)有一阶强广义微商。且u关于xi的强广义微商等于vi。 那么我们可以定义h1空间了。 h1空间： 设d是一个区域（n维），那么h1(d)表示属于l2(d)、具有所有的（n个）一阶强广义微商、并且强广义微商也属于l2(d)的一切函数组成的空间。它也称为索博列夫空间。 在以上定义中，l2和h1都是和区域d（e）有关的。离开了区域的限制，空谈什么是l2和h1是没有意义的——这就像是说一个人身高1米75，他是否是高个子一样。