五点共圆和它的证明条件是什么？

五点共圆和它的证明条件是什么？

题目：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。 
证明：连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA 
∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180° 
∴A、I、N、C四点共圆 
同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆 
∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA 
∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN） 
∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180° 
故K、L、M、N四点共圆 
同理可证O、L、M、N四点共圆 
∴K、O、N、M、L五点共圆证毕。 
【提示】此题也可以运用密格尔（A．Miquel）定理证明。密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点。