关于函数的现代定义

我们高一学生研究的函数的定义是近代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。而像x^2+y^2=1这样能画出图象的式子，以及二次函数图象旋转90°得到的图象，在函数的近代定义下都不是函数。
请问，函数的现代定义是什么呢？以上两例若用函数的现代定义来解释，它们是函数吗？

似乎还是和楼主说的那样吧，我学数学这么多年了也没有听说函数还有别的定义方式。
像那两个例子都是一对多的映射，不是函数。

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函数的定义 (1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量. (2)函数的近代定义：设a，b都是非空的数的集合，f:x→y是从a到b的一个对应法则，那么从a到b的映射f:a→b就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈a，y∈b，原象集合a叫做函数f(x)的定义域，象集合c叫做函数f(x)的值域. 上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合a到集合b的一个特殊的映射，其特殊性在于集合a、b都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合c叫做函数的值域. 这里应该注意的是，值域c并不一定等于集合b，而只能说c是b的一个子集. 2.函数的三要素定义域a，值域c以及从a到c的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.　

反函数

一般地，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在c中的任何一个值，通过x= (y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. 　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. 　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域a到值域c的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合c到集合a的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 　　函数y=f(x) 　　反函数y=f^-1(x) 　　定义域 　　a c 　　值 域 　　c a 　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3. 　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

函数定义与以前没变

其实，函数的定义就是说的：“设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。”像x^2+y^2=1这样的式子，准确的说，它不是函数。我觉得是这样

说白了，函数就是“关系式”