函数 的定义域是R,f(0)=2 ,对任意x ,f(x)+f'(x)>1 ,则不等式e^xf(x)>e^x+1 的解集

函数 的定义域是R,f(0)=2 ,对任意x ,f(x)+f'(x)>1 ,则不等式e^xf(x)>e^x+1 的解集

令g(x)=e^xf(x)-e^x-1
则求导得：g'(x)=e^x(f(x)+f'(x)-1)
由已知：f(x)+f'(x)-1>0
所以g'(x)>0
即g(x)为单调递增函数
又g(0)=f(0)-2=2-2=0
所以：x<0时，g(x)<0
x=0时，g(x)=0
x>0时，g(x)>0
故e^xf(x)>e^x+1 的解集为{x|x>0}

解： 定义 h(x) = e^x *f(x) - e^x - 1；则 不等式e^xf（x）>e^x+1的解集就是 h(x) >0 的解集 h(0) = 1* 2 -1-1 =0； h‘(x) = e^x *[f(x) + f'(x)] - e^x； ∵ [f(x) + f'(x)] >1；且 ∴ 对于任意 x ∈ r e^x *[f(x) + f'(x)] > e^x ∴ h'(x) = e^x *[f(x) + f'(x)] - e^x > 0 即 h(x) 在实数域内单调递增； ∵ h(0) = 0； ∴ 当 x< 0 时，f(x) < 0； 当 x > 0 时，f(x) > 0； 因此不等式e^x*f(x) > e^x +1的解集为：{x| x>0 }