求证：方程2x2-5y2=7没有整数解
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解决时间 2021-01-20 16:03
- 提问者网友：抽煙菂渘情少年
- 2021-01-20 09:25
求证：方程2x2-5y2=7没有整数解
最佳答案
- 五星知识达人网友：平生事
- 2021-01-20 11:00
用反证法，假如方程有整数解，因为2x^2为偶数，7为奇数，故y是奇数。
设y=2k+1（k为整数），代入原方程得2x^2-5(2k+1)^2=7，即
x^2-10k^2-10k=6，可知x是偶数。
设x=2m，则(2m)^2-10k^2-10k=6，即2m^2-5k(k+1)=3
但k(k+1)是一个偶数，而两个偶数之差不可能等于奇数，矛盾。所以原方程没有整数解。
设y=2k+1（k为整数），代入原方程得2x^2-5(2k+1)^2=7，即
x^2-10k^2-10k=6，可知x是偶数。
设x=2m，则(2m)^2-10k^2-10k=6，即2m^2-5k(k+1)=3
但k(k+1)是一个偶数，而两个偶数之差不可能等于奇数，矛盾。所以原方程没有整数解。
全部回答
- 1楼网友：想偏头吻你
- 2021-01-20 11:12
假设2x^2-5y^2＝7有整数解，根据奇偶性得y是奇数，设为y＝2n 1,得：x^2＝10n^2 10n 6＝2(5n^2 5n 3)＝2[5n(n 1) 3].x是偶数，x^2应该是4的倍数，而n(n 1)是偶数,所以5n(n 1) 3是奇数，所以x^2不是4的倍数的偶数！所以x不是整数！
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