已知弧长,弦长.求弧所对的度数

已知弧长,弦长.求弧所对的度数

弧度制
人教现行版 十年级 数学 教材 2006-03-12

种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．下面再介绍在数学和其他科学中常用的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度．

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad．如图4-5，弧 的长等于半径r， 所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．在图4-6中，圆心角∠AOC所对的弧 的长l=2r，那么∠AOC的弧度数就是

当圆心角为周角时，它所对的弧(即圆周)长l=2πr，所以周角的弧度数是

2π．角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．

如果角α是一个负角，那么它的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0．例如，当弧长l=4πr且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值

其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径．

这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．下面讨论角度与弧度的换算方法．

1．氢角度换成弧度

因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以

360°=Zπ rad，

180°=πrad，

2．把弧度换成角度

把上面三个关系式中的前两个反过来写，就可以得到

2πrad=360°，

πrad=180°，

例1 把67°30′化成弧度．

度数与弧度数的换算，可以利用科学计算器进行，也可以利用《中学数学用表》中的“度、分、秒化弧度表”和“弧度化度、分、秒表”来进行．

今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α=2就表示α是2 rad

下面是一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(例如这个角的弧度数或度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(例如弧度数或度数①等于这个实数的角)与它对应(图4-7)．

l=|α|r，

这就是说，弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半

R是圆的半径．

例4 计算：

(2)因为

57.30°×1.5=85.95°=85°57′，

所以

tan 1.5≈tan 85°57′=14.12．

例5 将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式：

例6 求图4-9中公路弯道处弧 的长l(精确到1m．图中长度单位：m)．

答：弯道处 的长约为47m．

练 习

1．(口答)把下列各角从度化成弧度：

(1)180°；(2)90°；(3)45°；

(4)30°；(5)120°；(6)270°．

2．(口答)把下列各角从弧度化成度：

3．把下列各角从度化成弧度：

(1)12°；(2)75°；(3)-210°；

(4)135°；(5)22°30′；(6)1200°．

4．把下列各角从弧度化成度：

5．用弧度制表示：

(1)终边在x轴上的角的集合；

(2)终边在y轴上的角的集合．

6．求下列各式的值：

7．(口答)时间经过4 h(时)，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

8．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为lm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度．

9．把下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角：

10．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求此弧所对的圆心角的弧度数

解：设弧长所对应的圆心角为a，弦长为l 3.14*14.2*2*a/360=19.5，a=78.72° sin78.72/2=（1/2 l）/14.2，l=18.01m。