设X1,X2,X3是n元线性方程组AX=β的线性无关解，rA=n-2，试求AX=0的一个基础解

设X1,X2,X3是n元线性方程组AX=β的线性无关解，rA=n-2，试求AX=0的一个基础解系，并求AX=β的通解

证明:(1) 因为齐次线性方程组的解的线性组合仍是解
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 都是AX=0的解.
(2) 设 k1(X1+X2)+k2(X2-X3)+k3(X1+X2+X3)=0
则 (k1+k3)X1+(k1+k2+k3)X2+(-k2+k3)X3=0.
因为X1,X2,X3为齐次线性方程AX=0的一个基础解系
所以 X1,X2,X3 线性无关.
所以有
k1+k3 = 0
k1+k2+k3 = 0
-k2+k3 = 0
又因为系数行列式 =
1 0 1
1 1 1
0 -1 1
= 1
所以 k1=k2=k3=0.
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 线性无关.
(3)因为AX=0的基础解系含3个向量
故X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是AX=0的基础解系.

方程组有非零解，于是系数行列式 . λ 1 λ2 1 λ 1 1 1 λ . =0， 将该行列式展开可得到（λ-1）2=0，于是λ=1． 所以a= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 设矩阵b= b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 ，由ab得到零矩阵，得知b11+b21+b31=0，b12+b22+b32=0，b13+b23+b33=0． 由于只需考虑行列式b的值是否为0，即|b|= . b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 . 是否为零． 作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反数时，|b|=0，b≠o（不妨选b= 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 ），于是d不对，只能选c． 故选c．