已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；③f（n）

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；③f（n）

（1）：∵f（2）=f（2×1）=f（2）?f（1），又f（2）=2，∴f（1）=1．又∵f（4）=f（2?2）=f（2）?f（2）=4，2=f（2）＜f（3）＜f（4）=4，且f（3）∈N．∴f（3）=3．（2）由f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3猜想f（n）=n（n∈N）．（3）用数学归纳法证明：①当n=1时，f（1）=1，函数解析式成立；②假设n≤k时，f（k）=k，函数解析式成立；（i）若k+1=2m（m∈N），f（k+1）=f（2m）=f（2）?f（m）=2m=k+1．（ii）若k+1=2m+1（m∈N），f（2m+2）=f[2（m+1）]=f（2）?f（m+1）=2（m+1）=2m+2，2m=f（2m）＜f（2m+1）＜f（2m+2）=2m+2．∴f（2m+1）=2m+1=k+1．即n=k+1时，函数解析式成立．综合①②可知，f（n）=n（n∈N）成立．======以下答案可供参考======供参考答案1:f(1)=f(1)*f(1) 则f(1)=1 ， f(4)=f(2)*f(2)=4，又f(n)属于正整数，当x>y时，f(x)>f(y)，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4)=4f(2n)=2f(n) 所以f(n)=n

我明天再问问老师，叫他解释下这个问题