复变函数论里的欧拉公式的证明

复变函数论里的欧拉公式的证明

将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；
将i*<2>+<3>式得到<5>式。比较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx。

P.S. 为了方便理解，现给出幂级数概念及泰勒展开式：
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

拓扑学里的欧拉公式： V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也 不会改变的量，是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。