设数列an满足a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3，a是正整数，设bn=n/an，求数列bn的前n项和？

设数列an满足a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3，a是正整数，设bn=n/an，求数列bn的前n项和？

要先把an求出来

因为a1+3a2+3²a3+……+3^(n-2)a<n-1>+3^(n-1)an=n/3

那么a1+3a2+3²a3+……+3^(n-2)a<n-1>=(n-1)/3

两式想减可得3^(n-1)*an=n/3-(n-1)/3

==>3^(n-1)*an=1/3

==>an=1/(3^n)

所以bn=n÷1/(3^n)=n*3^n

然后用错位相减法法求出Sn

Sn=1×3^1+2×3^2+3×3^3+4×3^4+...+n×3^n

所以3Sn=1×3^2+2×3^3+3×3^4+4×3^5+...(n-1)×3^n+n×3^(n+1)

所以3Sn-Sn=-1×3^1+3^2×(1-2)+3^3×(2-3)+3^4×(3-4)+...+3^n×(n-1-n)+n×3^(n+1)

2Sn=-3-1×(3^2+3^3+3^4+...+3^n)+n×3^(n+1)

2Sn=-3-9×[1-3^(n-1)]/(1-3)+n×3^(n+1)

2Sn=-3-[3^(n+1)-9]/2+n×3^(n+1)

Sn=[(2n-1)×3^(n+1)+3]/4

先求出an的通项公式:a1=1/3;3a2=2/3-1/3=1/3,a2=1/3^2;3^2a3=3/3-1/3-1/3=1/3,a3=1/3^3......3^(n-1)an=n/3-1/3-1/3-...-1/3=1/3,得an=1/3^n;所以bn=3^n,用等比数列部分和公式得:s(bn)=[3^(n+1)-3]/(3-1)=(3/2)(3^n-1)

令数列bn的前n项和Sna1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3 ①a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an+3^na(n+1)=(n+1)/3 ②②-①3^na(n+1)=1/3a(n+1)=1/3^n+1即an=1/3^nSn=1/3+1/3^2+。。。+1/3^nSn=1/2(1-1/3^n)