数学——函数

设f(x)对一切实数x、y都有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5.

(1)求证：H(x)=f(x)+2是奇函数

(2)求证：f(x)在R上是增函数

∵f(x+y)+2=f(x)+f(y),

∴f(0+0)+2=f(0)+f(0),得f(0)=2

f(x+（-x）)+2=f(x)+f(-x),f(0)+2=f(x)+f(-x),即),f(x)+f(-x)=4,

设H(x)=f(x)-2 则：H(x)+H(-x)=f(x)-2+f(-x)-2=0

∴H(x)=f(x)-2是奇函数

对任意实数a，当x>0时，f(a+x)-f(a)=f(x)-2>0

所以f(x)在R上是增函数。