求lim (1+1/n^2)^n
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解决时间 2021-04-15 15:49
- 提问者网友：趣果有间
- 2021-04-14 15:44
求lim (1+1/n^2)^n
最佳答案
- 五星知识达人网友：夜风逐马
- 2021-04-14 17:01
解法一：lim(n->∞)[(1+1/n^2)^n]
=lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x)] (令x=1/n)
=lim(x->0)[((1+x^2)^(1/x^2))^x]
={lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x^2)]}^[lim(x->0)(x)] (应用初等函数的连续性)
=e^[lim(x->0)(x)] (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^0
=1；
解法二：lim(n->∞)[(1+1/n^2)^n]
=lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x)] (令x=1/n)
=e^{lim(x->0)[ln(1+x^2)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[2x/(1+x^2)]} (0/0型极限，应用洛必达法则)
=e^[0/(1+0)]
=e^0
=1。
=lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x)] (令x=1/n)
=lim(x->0)[((1+x^2)^(1/x^2))^x]
={lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x^2)]}^[lim(x->0)(x)] (应用初等函数的连续性)
=e^[lim(x->0)(x)] (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^0
=1；
解法二：lim(n->∞)[(1+1/n^2)^n]
=lim(x->0)[(1+x^2)^(1/x)] (令x=1/n)
=e^{lim(x->0)[ln(1+x^2)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[2x/(1+x^2)]} (0/0型极限，应用洛必达法则)
=e^[0/(1+0)]
=e^0
=1。
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