设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值,X是矩阵A对应λ1的特征向量,证明λ1 λ2是A的转置的特征值

设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值,X是矩阵A对应λ1的特征向量,证明λ1 λ2是A的转置的特征值
如Y是A的转置对应λ2的特征向量,证明X与Y相交

考虑特征多项式.A的特征多项式,和A^T的特征多项式相同.
进而A的特征值是A^T的特征值,但对应的特征向量不同.
再问： 能写下详细过程不咯 我看不太明白 谢啦
再答： lA-λEl=l(A-λE)^Tl=lA^T-λEl 故A和A^T有相同的特征值。 AX=λ1X A^TY=λ2Y故Y^TA=λ2Y^T λ2Y^TX=Y^TAX=Y^Tλ1X=λ1Y^TX 故(λ1-λ2)Y^TX=0，注意到λ1-λ2不等于零 故Y^TX=0，即X与Y正交。